一個(gè)特殊數(shù)學(xué)教學(xué)案例的啟示

　　導(dǎo)讀：由此可見(jiàn)，兒童又有多少與成人不同的思維方式，他們又有多少創(chuàng)造性思維方式?jīng)]有被我們所發(fā)掘。這是不是也在說(shuō)明“在培養(yǎng)兒童的創(chuàng)造力過(guò)程中，只要我們不扼殺兒童的創(chuàng)造力，就謝天謝地了”呢？

　　1案例

　　2005年2月25日上午，我正坐在床上看書，我的女兒跑來(lái)纏著要做加法。此時(shí)，她才5歲零3個(gè)月，在上幼兒園學(xué)前班；數(shù)學(xué)口算會(huì)10以內(nèi)的整數(shù)加法，勉強(qiáng)會(huì)20以內(nèi)的整數(shù)加法，基本不會(huì)減法；此前不久，經(jīng)北京東方兒童教育研究所測(cè)試顯示，其智力發(fā)展處于中等水平。

　　實(shí)在被纏得沒(méi)有辦法，我就應(yīng)付地問(wèn)到“1+1等于幾？”她答“2”。再問(wèn)“2+2等于幾？”她答“4”。又問(wèn)“4+4等于幾？”答“8”。最后問(wèn)“8+8等于幾？”由于數(shù)字過(guò)大，她答不上來(lái)，我只好告訴她結(jié)果。

　　本來(lái)我是想讓她不要再問(wèn)了，可是她又提出做減法的要求（大概是由于在約1個(gè)月前的智力測(cè)試時(shí)，兩個(gè)減法題均未答出的緣故，使她想學(xué)減法）。于是我就開(kāi)始嘗試著教她減法。

　　第一段，引出減法概念。我問(wèn)：“5-2等于幾？”她好象不太明白什么是減。我就說(shuō)：“潘玥最喜歡吃蘋果了，媽媽買來(lái)5個(gè)蘋果，玥玥一口氣就吃了2個(gè)。現(xiàn)在還剩幾個(gè)？”她說(shuō)：“3個(gè)。”我說(shuō)：“對(duì)了，5-2就是5個(gè)蘋果吃掉2個(gè)蘋果。5個(gè)蘋果吃掉2個(gè)還剩3個(gè)蘋果，說(shuō)明5-2等于幾呢？”她答“3”，同時(shí)她用期待的目光望者我，希望得到我的肯定。可能在我給她肯定和表?yè)P(yáng)后，她才明白原來(lái)這就是減法。接著我改變數(shù)字又問(wèn)了兩個(gè)吃蘋果的減法問(wèn)題，她都能一一回答正確。我給她一番夸獎(jiǎng)之后，使教學(xué)進(jìn)入了下一階段。

　　第二段，把問(wèn)題變成被減數(shù)是10的買蘋果的問(wèn)題。我問(wèn)：“由于爸爸的粗心，昨天買來(lái)10個(gè)蘋果，里面有2個(gè)壞的，你說(shuō)還有幾個(gè)是好的呢？”她在心理默默地?cái)?shù)了數(shù)后答到：“8個(gè)。”我又問(wèn)：“第二次是媽媽晚上去買的蘋果。由于看不清楚，買回10個(gè)蘋果中就有3個(gè)是壞的，那——還有幾個(gè)是好的呢？”她思考幾秒鐘后答到：“7個(gè)。”我再問(wèn)：“第三次是奶奶晚上去買的水果，她更是看不清楚，結(jié)果買的10個(gè)中就有5個(gè)是壞的。你說(shuō)還有幾個(gè)是好的？”她答：“5個(gè)”。看來(lái)她對(duì)減法的涵義已經(jīng)掌握，于是我又是一番夸贊之后，使教學(xué)轉(zhuǎn)入了第三段。

　　第三段，脫離實(shí)物的純數(shù)字的減法運(yùn)算。我以遞減的方式依次問(wèn)5-3等于幾、5-2等于幾、5-1等于幾、5-0等于幾。前三問(wèn)她都能借助于吃蘋果進(jìn)行思考（我聽(tīng)到她在思考第一問(wèn)時(shí)小聲地說(shuō)了聲“吃蘋果”），并一一說(shuō)出正確答案。見(jiàn)她答不出第四問(wèn)，我就解釋到：“減零表示吃掉零個(gè)，吃掉零個(gè)表示一個(gè)都不吃。”然后問(wèn)：“5個(gè)蘋果一個(gè)都沒(méi)有被吃掉，還剩幾個(gè)？”她答：“5個(gè)。”我重新問(wèn)：“5-0等于幾？”她答：“5。”接著我又問(wèn)6-0等于幾、10-0等于幾、100-0等于幾，她都能回答正確。為了引入差為零的減法，我就以遞增的方式依次問(wèn)5-3等于幾、5-4等于幾、5-5等于幾。前兩問(wèn)她能迅速地說(shuō)出答案，對(duì)第三問(wèn)她遲疑了一下之后，也小聲地說(shuō)出了是零（她在這之前已經(jīng)有零的概念）。我給予肯定之后，又依次問(wèn)6-6等于幾、10-10等于幾、100-100等于幾、103-103等于幾、1萬(wàn)減1萬(wàn)等于幾、0-0等于幾。她都能迅速回答（回答這些問(wèn)題之前，好象沒(méi)有怎么思考，可能采用的是類推的思維方式）。我在給她一番表?yè)P(yáng)后，又提出了下面的問(wèn)題。

　　第四段，差為負(fù)整數(shù)的減法。我依次問(wèn)2-1等于幾、2-2等于幾、2-3等于幾。第三問(wèn)她回答不了，我就啟發(fā)到：“有2個(gè)蘋果，玥玥想要吃3個(gè)，還差幾個(gè)？”她說(shuō)：“差1個(gè)。”我說(shuō)：“對(duì)了，差1個(gè)就是-1，差2個(gè)就是-2。”她接著插嘴說(shuō)“差3個(gè)就是-3。”我說(shuō)：“對(duì)。所以2-3=-1。再來(lái)，2-4等于幾？現(xiàn)在有2個(gè)蘋果，玥玥要想吃4個(gè)，還差幾個(gè)？”“差2個(gè)。”“那么2-4等于幾？”答：“等于負(fù)2。”我又問(wèn)“1-4等于幾”，她回答“等于負(fù)3”。此時(shí)我感到十分驚喜，差為負(fù)整數(shù)的減法她也會(huì)了。這在成年人看來(lái)好象有點(diǎn)不可思議，一個(gè)剛學(xué)減法的學(xué)齡前兒童居然這么容易就學(xué)會(huì)了初中一年級(jí)學(xué)生才學(xué)習(xí)的內(nèi)容。我重重地夸贊一番之后，又依次問(wèn)1-1、1-2、1-3、2-5等于幾，她都能一一回答正確�？磥�(lái)她真正學(xué)會(huì)了差為負(fù)整數(shù)的減法，于是我就試著將教學(xué)轉(zhuǎn)入下面的內(nèi)容。

　　第五段，被減數(shù)是負(fù)整數(shù)的減法。我問(wèn)“0-1等于幾”后，見(jiàn)她有點(diǎn)遲疑，就啟發(fā)到：“你想啊，本來(lái)沒(méi)有蘋果，想吃1個(gè)，差幾個(gè)呢？”答：“差1個(gè)。”我說(shuō)：“所以0-1等于-1。”接著我又依次問(wèn)0-2、0-3、0-4、0-100等于多少，這下她都能一一回答正確（可能她又是用的類推的方法，從而得出經(jīng)驗(yàn)并記住了這一經(jīng)驗(yàn)：零減去幾就等于負(fù)幾，并且感悟到0下面是-1，-1下面是-2，以后依次是-3，-4，…）。為了鞏固這一成果，我又依次問(wèn)5+0、0+5、5-0、0-5等于幾，她都能回答正確。這說(shuō)明被減數(shù)為零的減法她已經(jīng)掌握。然后我又用遞減法依次問(wèn)2-1、1-1、0-1、-1-1等于幾。前三問(wèn)她能很快說(shuō)出答案；第四問(wèn)我給她解釋到：“-1表示已經(jīng)差一個(gè)蘋果了，再減一就是還要差一個(gè)，這樣就差幾個(gè)了？”答：“差兩個(gè)。”“所以-1再減1就等于-2。那么-1再減2呢？”她答“等于-3。”我給予肯定之后，又依次問(wèn)-1-3、-2-2、-2-4等于幾，這些她都回答正確了。這真使我喜出望外。居然被減數(shù)為負(fù)數(shù)的一位整數(shù)的減法她也學(xué)會(huì)了！

　　第六段，加法與減法同時(shí)進(jìn)行。為了鞏固前面的學(xué)習(xí)成果，我提出了以下幾組問(wèn)題。第一組是對(duì)偶問(wèn)題“2+3、3+2、3-2、2-3分別等于幾”；第二組也是對(duì)偶問(wèn)題“10+0、0+10、10-0、0-10分別等于幾”；第三組是頂針問(wèn)題“5-2、3-2、1-2、-1-2分別等于幾”。她對(duì)這三組問(wèn)題都能一一回答正確，這說(shuō)明被減數(shù)為零或者負(fù)數(shù)的一位整數(shù)的減法她已經(jīng)掌握了。接下來(lái)我就開(kāi)始擴(kuò)大戰(zhàn)果。

　　第七段，多位整數(shù)的加減法。第一組是頂針對(duì)稱問(wèn)題，分別問(wèn)10+10，20+20，40+40，80+80等于多少。在提示10+10等于20后，她就能類推出“20+20=40，40+40=80，80+80等于16十”，但其中的“16十”應(yīng)糾正為“1百6十”。第二組為任意整十、整百或整千的加法，分別問(wèn)10+30，50+20，1百+4百，4千+3千等于多少。她都能通過(guò)類推說(shuō)出答案，或者將十、百、千作為整體單位進(jìn)行計(jì)算（如四千加三千就相當(dāng)于四個(gè)蘋果加三個(gè)蘋果）。第三組為整十?dāng)?shù)與一位整數(shù)的加法，分別問(wèn)10+3，10+9，20+8，50+2，3+10，5+30，7+90等于多少。前4問(wèn)她都能通過(guò)類推說(shuō)出答案，第5問(wèn)有點(diǎn)困難，但提示糾正后，接下來(lái)的兩問(wèn)都能回答正確。第四組為整十與整百相加，分別問(wèn)100+10，100+20，100+50，200+30，400+70，2000+300，20+400，40+700。得到第一問(wèn)的提示后，她對(duì)前6問(wèn)都能類推出結(jié)果，但是后2問(wèn)類推的結(jié)果“24百和47百”應(yīng)糾正為“420和740”。第五組為整十與整十或整百與整百相減，分別問(wèn)50-30，30-40，600-400，100-300，-100-200等于多少。她也能由以上經(jīng)驗(yàn)類推出正確答案。

　　這太好了，在一般的成年人看來(lái)，一個(gè)智力中等、僅5歲零3個(gè)月大小的兒童，從開(kāi)始學(xué)習(xí)減法到能正確說(shuō)出“-100-200”的答案竟只需要約半小時(shí)時(shí)間。真是有點(diǎn)不可思議。

　　第八段，用所學(xué)減法知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題。首先，我問(wèn)：“爸爸給玥玥5元錢買牛奶，玥玥買一盒牛奶用了2元。賣牛奶的阿姨該找回幾元呢？”由于所給信息較多，數(shù)量關(guān)系又具有隱含性和復(fù)雜性，她思考時(shí)不停地問(wèn)給了幾元錢、買了幾盒牛奶、牛奶多少錢。通過(guò)不斷提供數(shù)據(jù)信息，并逐步啟發(fā)，她還是用減法得出了正確答案。接著，我進(jìn)一步問(wèn)：“爸爸給玥玥5元錢去買牛奶，玥玥買一盒牛奶用了2元，賣牛奶的阿姨補(bǔ)給你2元。阿姨是多給還是少給了？”當(dāng)她答“少給了”后，我又問(wèn)少給了多少，這時(shí)她也能用減法算出少了1元。最后，我把問(wèn)題變得更為復(fù)雜：“爸爸給玥玥10元錢，玥玥在超市里買一盒牛奶用去2元，買一斤蘋果用去3元。問(wèn)阿姨該補(bǔ)給你幾元？”當(dāng)她回答后，我進(jìn)一步依次問(wèn)：“要是阿姨給了你6元，她給對(duì)了嗎？是多給了還是少給了？多給了多少？”對(duì)于5歲多一點(diǎn)的兒童來(lái)說(shuō)，盡管要回答這一連串問(wèn)題顯得有點(diǎn)困難，但是通過(guò)這樣的訓(xùn)練，卻能使之在潛意識(shí)里體會(huì)到加法與減法的真正涵義，從而提高其運(yùn)用知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題的潛意識(shí)和潛能力。這才是數(shù)學(xué)教育的真諦。

　　2啟示

　　事后，筆者感到以上案例具有一定的研究?jī)r(jià)值，于是對(duì)它進(jìn)行了詳細(xì)的整理與反思�，F(xiàn)將反思所得幾點(diǎn)啟示羅列如下，希望它能引起數(shù)學(xué)教育同仁的共同研討，并從中挖掘出更有價(jià)值的東西。

　�。�1）現(xiàn)有中小學(xué)數(shù)學(xué)教材編排體系值得質(zhì)疑。現(xiàn)有教材的編排體系是否合理，即教材中的數(shù)學(xué)知識(shí)應(yīng)以什么次序編排、以什么形式組合、以什么方式呈現(xiàn)，我們對(duì)這些問(wèn)題的認(rèn)識(shí)或許還帶有相當(dāng)程度的盲目性。本案例中，筆者并不是按照小學(xué)數(shù)學(xué)教材的知識(shí)體系進(jìn)行加減法教學(xué)，而是以十以內(nèi)甚至五以內(nèi)的整數(shù)加減法為知識(shí)的固著點(diǎn)和生長(zhǎng)點(diǎn)，牽帶出包括“整十整百的加減法”、“被減數(shù)是負(fù)整數(shù)的減法”和“被減數(shù)是負(fù)整百的減法”等知識(shí)在內(nèi)的一連串知識(shí)的。恐怕這是世界上任何一個(gè)國(guó)家的小學(xué)數(shù)學(xué)教材中都沒(méi)有的現(xiàn)象。既然這些知識(shí)可以如此整合，那么教材中還有沒(méi)有其他知識(shí)應(yīng)該并且可以重新整合呢？若有，又有那些需要整合，又該怎樣整合呢？這些都是需要和值得我們深入研究和探討的。

　�。�2）引導(dǎo)方法得當(dāng)可使較難知識(shí)變得容易。像本案例中“-100-200=？”這一問(wèn)題，在一般人看來(lái)，應(yīng)該是學(xué)完小學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)的初中一年級(jí)學(xué)生才能學(xué)習(xí)的，然而，由于引導(dǎo)方法得當(dāng)，一位普通的學(xué)齡前兒童在約半小時(shí)內(nèi)，也是可以學(xué)會(huì)解決的。在此教學(xué)過(guò)程中，一方面，筆者采用了吃蘋果、買蘋果、買牛奶等這些兒童最貼近的實(shí)例作為教育情景進(jìn)行減法教學(xué)。這有利于激發(fā)兒童的興趣，有利于刺激兒童積極思維。另一方面，筆者在提問(wèn)時(shí)，常采用頂針、對(duì)偶、對(duì)稱和排比等手法，使問(wèn)題一個(gè)扣一個(gè)地步步攀升，也使兒童感到學(xué)起來(lái)饒有興趣。第三，本案例采用小步推進(jìn)、小數(shù)字計(jì)算的教學(xué)策略，使兒童即使在計(jì)算“-100-200=？”這一看似高難度的問(wèn)題時(shí)，也不感到困難。因此，方法得當(dāng)能使困難問(wèn)題變得簡(jiǎn)單；方法失當(dāng)則會(huì)使簡(jiǎn)單問(wèn)題變得困難。

　�。�3）人們普遍認(rèn)為“授之以魚不如授之以漁”，但筆者認(rèn)為“授之以漁又不如授之以欲”。本案例最成功之處并不在于使兒童學(xué)會(huì)了被減數(shù)為負(fù)數(shù)的整數(shù)減法這一對(duì)兒童而言看似高深的知識(shí)，也不在于教學(xué)方法運(yùn)用有多么的巧妙，而是在于引導(dǎo)者不斷地激起了兒童的學(xué)習(xí)欲望和學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的快樂(lè)感。教學(xué)中，每當(dāng)兒童獲得小小成功時(shí)，引導(dǎo)者都會(huì)予以表?yè)P(yáng)和夸贊。整個(gè)過(guò)程中，引導(dǎo)者都在不停地說(shuō)“很好、不錯(cuò)、真棒、真聰明，……”。當(dāng)聽(tīng)到“好能干羅，減法都會(huì)了”的夸獎(jiǎng)后，她就產(chǎn)生了還要做減法的欲望；當(dāng)聽(tīng)到“真聰明，連初中的題都會(huì)做了”的表?yè)P(yáng)時(shí)，她就要求還要做大學(xué)的題；當(dāng)她將更難的“大學(xué)”的題做出來(lái)，并聽(tīng)到表?yè)P(yáng)“哎呀，真是不得了，大學(xué)的題也會(huì)了”時(shí)，她又提出要求做更難的題。就這樣，一旦將兒童的學(xué)習(xí)熱情調(diào)動(dòng)起來(lái)后，你想要她不學(xué)都還困難，更不用說(shuō)還要強(qiáng)迫她學(xué)習(xí)了。本案例中，兒童的學(xué)習(xí)熱情甚至達(dá)到這樣的程度：我在實(shí)在扭不過(guò)她的情況下，就強(qiáng)行哄她走開(kāi)。哄她不走，又只好出幾個(gè)題難住她。這時(shí)她才慢慢降低繼續(xù)學(xué)習(xí)的熱情，才很不情愿地走開(kāi)。但后來(lái)，每當(dāng)她走到我身邊玩耍時(shí)，都會(huì)主動(dòng)提出要求說(shuō)“爸爸，又來(lái)1+1，又來(lái)做減法嘛”。也許在她看來(lái)，能做出筆者出的減法題，就是一種成功、滿足和快樂(lè)。要是我們的數(shù)學(xué)教育都是這樣，使學(xué)生以學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)為滿足和快樂(lè)，那該有多好啊。

　�。�4）在數(shù)學(xué)教育中，可能對(duì)年齡越小的兒童越是要“重實(shí)質(zhì)輕形式”。本案例中，筆者沒(méi)有搞一點(diǎn)形式化的東西。兒童連一個(gè)符號(hào)都沒(méi)有看到，也沒(méi)有寫出，卻也能很快學(xué)會(huì)初中學(xué)生才學(xué)習(xí)的知識(shí)；一點(diǎn)形式都沒(méi)有，也能達(dá)到數(shù)學(xué)教育的目的，甚至比形式化的教學(xué)效果更好，效率更高。一方面，只要抓住了減法的實(shí)質(zhì)，不一定要寫出數(shù)字，列出算式進(jìn)行筆算�？谒阏諛涌梢赃_(dá)到使兒童深刻理解減法涵義和運(yùn)用減法解決實(shí)際問(wèn)題的目的，甚至有時(shí)口算比筆算更有利于數(shù)學(xué)思維的訓(xùn)練。另一方面，由于在引導(dǎo)兒童的過(guò)程中，筆者緊緊抓住減法的實(shí)質(zhì)，進(jìn)行小跨度和小數(shù)字的問(wèn)題設(shè)置，使兒童學(xué)起來(lái)十分輕松，其知識(shí)也在潤(rùn)物細(xì)無(wú)聲中生長(zhǎng)起來(lái)了。

　�。�5）筆者發(fā)現(xiàn)，兒童的許多思維方式并不是我們成年人或者教育者想象的那樣；兒童的大腦里潛藏著大量的創(chuàng)造性思維方式。比如，兒童學(xué)習(xí)加減法時(shí)，很多時(shí)候似乎并沒(méi)有按我們成年人那樣去推理或計(jì)算，并且也不需要給她講多少道理，她就可以憑經(jīng)驗(yàn)進(jìn)行類推。雖然這樣的類推有時(shí)是錯(cuò)誤的，但在其知識(shí)十分有限的條件下，這可能是她的思維策略中最佳或者唯一的選擇。當(dāng)類推的結(jié)果得到肯定時(shí)，她就記住這一經(jīng)驗(yàn)，并會(huì)在以后繼續(xù)這樣類推；否則，她就建立新的正確的經(jīng)驗(yàn)，然后在新經(jīng)驗(yàn)基礎(chǔ)上又進(jìn)行類推。如本案例中，當(dāng)兒童依次回答“10+3=13，20+5=25，70+7=77”后，再問(wèn)她“3+20=？”時(shí)，她就會(huì)憑前面回答的經(jīng)驗(yàn)類推出“3+20等于三二十”的答案。這一錯(cuò)誤經(jīng)驗(yàn)就需要引導(dǎo)者給予糾正，即告訴她不能說(shuō)成三二十，要把十說(shuō)在前面，說(shuō)成二十三。以后她就能在新的正確經(jīng)驗(yàn)基礎(chǔ)上類推出“5+80=85”了。同樣，兒童也是由“-1-2=-3”類推出“-100-200=-300”，進(jìn)而類推出“-200-300=-500”等等的。又比如，在一次加法游戲中，當(dāng)我念出“a,o---a,o---a,o,a,o”要她回答一共有幾個(gè)“a”或“o”時(shí)，她很快就答出是8個(gè)。我以為她是按照“2+2+4=8”得到答案的，但如果是這樣計(jì)算的話，就不可能那么快說(shuō)出答案。我問(wèn)她為何這么快就能說(shuō)出答案，她說(shuō)是數(shù)出來(lái)的。原來(lái)她是按照我念的節(jié)奏，在心中這樣默默數(shù)出答案的：“1，2---3，4---5，6，7，8”。這當(dāng)然比我的加法速度還要快。我真沒(méi)想到還可以這樣“計(jì)算”。

　　由此可見(jiàn)，兒童又有多少與成人不同的思維方式，他們又有多少創(chuàng)造性思維方式?jīng)]有被我們所發(fā)掘。這是不是也在說(shuō)明“在培養(yǎng)兒童的創(chuàng)造力過(guò)程中，只要我們不扼殺兒童的創(chuàng)造力，就謝天謝地了”呢？

　　（6）事事洞明皆學(xué)問(wèn)，人情練達(dá)即文章。一方面，更多更實(shí)在的教育研究、教育發(fā)現(xiàn)就在我們身邊，就在我們每一次的教育教學(xué)行動(dòng)中。我們要善于洞察、發(fā)現(xiàn)和捕捉兒童微妙的表情變化和思維火花的閃現(xiàn)。因此，行動(dòng)研究是了解、研究和窺探兒童心理和發(fā)現(xiàn)兒童認(rèn)知規(guī)律的十分有效的途徑。另一方面，對(duì)在實(shí)踐中所捕捉和發(fā)現(xiàn)到的、原始的、零散而有價(jià)值的東西，要及時(shí)反思、篩選、梳理和提煉，使之上升為理論，整理成文章。本案例中，筆者通過(guò)“1+1”模式的一次行動(dòng)研究就獲得了以上幾點(diǎn)收獲，這是閱讀任何一本書都無(wú)法取代的。

　　由是觀之，我們?cè)谧鰯?shù)學(xué)教育研究時(shí)，應(yīng)該更多地深入實(shí)踐，更多地深入數(shù)學(xué)教育教學(xué)的“田間地頭”�；蛟S那里才是豐富的教育研究寶藏的埋藏地。

　　重慶郵電學(xué)院應(yīng)用技術(shù)學(xué)院 潘建輝

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