好書(shū)推薦：《怎樣解題》思維進(jìn)步之梯

　　作者喬治·波利亞（GeorgePolya，1887-1985），美籍匈牙利數(shù)學(xué)家。生于布達(dá)佩斯，卒于美國(guó)。波利亞先后在布達(dá)佩斯、維也納、哥廷根，巴黎等地攻讀法律、語(yǔ)言、數(shù)學(xué)、物理和哲學(xué)，獲布達(dá)佩斯大學(xué)哲學(xué)博士學(xué)位，是法國(guó)巴黎科學(xué)院、美國(guó)全國(guó)科學(xué)院和匈牙利科學(xué)院的院士。1914年在瑞士蘇黎世工業(yè)大學(xué)任教，1938年任數(shù)理學(xué)院院長(zhǎng)。1940年移居美國(guó)，歷任布朗大學(xué)、斯坦福大學(xué)教授。1963年獲美國(guó)數(shù)學(xué)會(huì)功勛獎(jiǎng)。曾著有《怎樣解題》、《數(shù)學(xué)的發(fā)現(xiàn)》、《數(shù)學(xué)與猜想》等，它們被譯成多種文字，廣為流傳。

　　《howtosolveit》雖然它討論的是數(shù)學(xué)中發(fā)現(xiàn)和發(fā)明的方法和規(guī)律，但是對(duì)在其他任何領(lǐng)域中怎樣進(jìn)行正確思維都有明顯的指導(dǎo)作用。本書(shū)圍繞“探索法”這一主題，采用明晰動(dòng)人的散文筆法，闡述了求得一個(gè)證明或解出一個(gè)未知數(shù)的數(shù)學(xué)方法怎樣可以有助于解決任何“推理”性問(wèn)題——從建造一座橋到猜出一個(gè)字謎。

　　在《howtosolveit》一書(shū)的開(kāi)始就介紹了“怎樣解題表”，它是波利亞在分解解題的思維過(guò)程得到，而且該表也是該書(shū)的精華部分，在該書(shū)的后面章節(jié)中就是對(duì)“怎樣解題表”的詳細(xì)解釋。波利亞曾經(jīng)指出：“學(xué)數(shù)學(xué)是一種樂(lè)趣！”，而在書(shū)中他提出的“怎樣解題表”將解題過(guò)程分成了四個(gè)步驟，只要能夠深刻地理解和掌握這四個(gè)步驟，并且熟練地使用，那么學(xué)生能感受到到學(xué)數(shù)學(xué)是一種樂(lè)趣。“怎樣解題表”的四個(gè)解題步驟總結(jié)起來(lái)是“弄清問(wèn)題”、“擬定計(jì)劃”、“實(shí)現(xiàn)計(jì)劃”和“回顧反思”

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　　第一部分：在教室里

　　*教師應(yīng)當(dāng)把自己放在學(xué)生的位置上，他應(yīng)當(dāng)看到學(xué)生的情況，應(yīng)當(dāng)努力去理解學(xué)生心里正在想什么，然后提出一個(gè)問(wèn)題或是指出一個(gè)步驟而這正事學(xué)生自己原本應(yīng)想到的。

　　*如果同一問(wèn)題不斷地對(duì)學(xué)生有所幫助，那么他很難會(huì)不注意到這一點(diǎn)，而且這將引導(dǎo)他在相似的情況下自己提出這一問(wèn)題。反復(fù)提出這個(gè)問(wèn)題，也許有一次他就會(huì)成功地得出正確的概念。由于這一成功，他發(fā)現(xiàn)了使用這一問(wèn)題的正確方法，于是他已經(jīng)真正地消化這一問(wèn)題了。

　　*教師提問(wèn)的方法：建議必須簡(jiǎn)單和自然，因?yàn)椴蝗坏脑�，它們就不可能不露痕跡了。

　　第二部分：怎樣解題

　　*盡可能清晰、生動(dòng)地使整個(gè)題目形象化。暫時(shí)拋開(kāi)細(xì)節(jié)。

　　*當(dāng)你對(duì)題目的敘述已經(jīng)很清楚，并在腦海里留下深刻的印象，以至于即使你一會(huì)兒不去看它也不會(huì)擔(dān)心把它全部忘掉時(shí)，就可以開(kāi)始了。

　　*考慮解答的各個(gè)細(xì)節(jié)，并盡可能使它們顯得簡(jiǎn)單；考察解答中那些比較冗長(zhǎng)的部分并盡可能使它們簡(jiǎn)短些；試著一眼就能看出整個(gè)解答。

　　第三部分：探索法小詞典

　　1.simplexsigillumveri.(拉丁語(yǔ)：簡(jiǎn)單性是真理的標(biāo)志)

　　2.教師們和教科書(shū)的作者們不應(yīng)該忘記一點(diǎn)：聰明的學(xué)生和聰明的讀者不會(huì)滿足于只驗(yàn)證推理的各個(gè)步驟都是正確的，他們也想知道各個(gè)不同步驟的動(dòng)機(jī)和目標(biāo)。

　　3.在一步步地檢驗(yàn)一個(gè)論證時(shí)，我們應(yīng)該避免單純的重復(fù)。首先，單純的重復(fù)容易使人厭煩、缺乏啟發(fā)性、導(dǎo)致注意力渙散。其次，如果情況和上一次相同，我們很可能在犯過(guò)錯(cuò)誤的地方再錯(cuò)一次。如果我們覺(jué)得有必要將整個(gè)論證一步一步地再過(guò)一遍的話，我們至少應(yīng)該改變一下這些步驟的次序或組合，來(lái)引入一些變化。

　　4.如果一個(gè)學(xué)生從來(lái)沒(méi)有機(jī)會(huì)解答一道由他自己創(chuàng)造的題目，他的數(shù)學(xué)經(jīng)驗(yàn)就是不完整的。

　　5.歐幾里得的論證方式，即嚴(yán)格地從已知數(shù)據(jù)進(jìn)展到未知量，從題設(shè)進(jìn)展到結(jié)論的方法，用來(lái)詳細(xì)地檢查論證過(guò)程是很好的，而用來(lái)使我們理解論證的主要思路則還遠(yuǎn)遠(yuǎn)不夠好。

　　6.直觀的洞察和形式上的證明是獲得真理的兩種不同的方式，這可以與通過(guò)視覺(jué)和觸覺(jué)這兩種不同的感官來(lái)感知一種事物想比擬。

　　7.如果你深入細(xì)節(jié)中去，你就可能會(huì)在細(xì)節(jié)中迷失自我。過(guò)多過(guò)細(xì)的枝節(jié)對(duì)思維是一種負(fù)擔(dān)。它們會(huì)阻礙你對(duì)要點(diǎn)投入足夠的注意力，甚至?xí)�使你全然看不到要點(diǎn)。

　　8.如果我們想研究一些更深入的細(xì)節(jié)，我們應(yīng)該做什么？在通常的情況下，可取的做法是，研究每個(gè)數(shù)據(jù)本身，將條件的不同部分分開(kāi)，并研究每一個(gè)部分本身。

　　9.教學(xué)生解題也是一種意志的教育。學(xué)生要解決對(duì)他來(lái)說(shuō)并不容易的題目，他將要學(xué)會(huì)面對(duì)失敗起而不舍，重視小的進(jìn)步，靜候?qū)嵸|(zhì)性的念頭，當(dāng)這一念頭出現(xiàn)后全力以赴。如果學(xué)生在學(xué)校中沒(méi)有機(jī)會(huì)使自己體會(huì)到這種為解題奮斗而帶來(lái)的各種情緒變化，他的數(shù)學(xué)教育就在最重要的一點(diǎn)上失敗了。

　　10.有的學(xué)生完全沒(méi)有計(jì)劃和總體思想，就急于計(jì)算和作圖；另一些學(xué)生則傻傻地干等著某個(gè)念頭出現(xiàn)，而不會(huì)做任何事來(lái)加速它的到來(lái)。

　　11.不要讓你的懷疑、猜想或臆測(cè)不加檢驗(yàn)地膨脹，直至它變得根深蒂固。無(wú)論如何，從理論上說(shuō)，最好的念頭會(huì)因不加鑒別而受損，卻會(huì)因嚴(yán)格的檢驗(yàn)而茁壯。

　　12.越是宏大的計(jì)劃，越有機(jī)會(huì)獲得成功。較全面的定理可能更容易證明；較普遍的題目可能更容易解答。

　　13.說(shuō)和想是緊密聯(lián)系的，文字的使用有助于思維。

　　14.相同的一些對(duì)象充滿了分析和綜合過(guò)程。它們?cè)诜治鲋绣憻捜说乃季S，在綜合中鍛煉人的體力。分析存在于思維之中，綜合存在行動(dòng)之中。還有另外一個(gè)不同的之處在于：它們的次序恰好相反。

　　15.為了捷達(dá)一道題目的一些只是，此外還還必須在我們已經(jīng)存在的，但原本潛伏著的知識(shí)中挑選和收集相關(guān)的內(nèi)容。從記憶中萃取相關(guān)元素可以稱為動(dòng)員。然而，要解答一道題目，僅僅回憶起一些孤立的事實(shí)是不夠的，我們必須把它們組合起來(lái)，而且它們的組合必須能很好地適用于我們手頭地題目。這種改編和結(jié)合地活動(dòng)可以稱之為組織。事實(shí)上，動(dòng)員和組織不可能真正分開(kāi)。

　　16.發(fā)現(xiàn)的規(guī)則。第一條發(fā)現(xiàn)的規(guī)則是要有智力和好運(yùn)。第二條發(fā)現(xiàn)的規(guī)則是安穩(wěn)地做下來(lái)等待，直到你產(chǎn)生一個(gè)出色的念頭。

　　17.格式的規(guī)則。第一條格式的規(guī)則是要有話可講。第二條格式的規(guī)則是，當(dāng)你碰巧有兩件事要講時(shí)，你要控制好自己，先講第一件，再講第二件，不要同時(shí)講兩件事。

　　18.教學(xué)的規(guī)則。第一條教學(xué)的規(guī)則時(shí)要知道你應(yīng)該教什么。第二條教學(xué)的規(guī)則是要懂得比你應(yīng)該教的東西多一點(diǎn)。

　　19.在將條件作為一個(gè)整體理解了以后，我們將它的不同部分分開(kāi)，并分別考慮它的每一個(gè)部分。

　　20.因而，清楚地理解未知量地性質(zhì)就意味著進(jìn)展；清晰地處置不同數(shù)據(jù)從而使我們能輕易地想起其中地任何一個(gè)，也意味著進(jìn)展。將條件作為一個(gè)整體來(lái)進(jìn)行生動(dòng)具體地想象可能意味著一個(gè)重要的進(jìn)展，而把條件分成幾個(gè)適當(dāng)?shù)牟糠忠苍S是向前邁出了重要的一步。當(dāng)我們找到了一個(gè)容易想象的圖像，或者是一個(gè)容易記憶的符號(hào)，我們就有理由相信我們已經(jīng)取得了某個(gè)進(jìn)展。回憶一道與我們的題目有關(guān)并且以前解過(guò)的題目，也許是朝正確方向邁出了決定性一步。

　　21.始終跟著你的靈感走——但保持一點(diǎn)懷疑。

　　22.探索式的：如果A則有B。因?yàn)锽為真，［所以A更可信］。

　　*證明性的：如果A則有B。因?yàn)锽為假，所以A為假。

　　*對(duì)于探索式的方法，首先，它沒(méi)有嚴(yán)格證明的確定性；其次，它們本質(zhì)上對(duì)于獲取新知識(shí)式很有用的，對(duì)于任何非純數(shù)學(xué)或邏輯的知識(shí)，以及對(duì)于涉及物質(zhì)世界的任何知識(shí)甚至都是不可或缺的。

　　23.這種偶發(fā)事件給人的印象式潛意識(shí)活動(dòng)。事實(shí)是，一道題目在經(jīng)過(guò)一段時(shí)間的擱置后，可能回重新回到意識(shí)中來(lái)，而且基本上一清二楚了，比我們把它們拋在腦后時(shí)與解答要接近得多。誰(shuí)使它清楚了，誰(shuí)使它更接近答案了？明顯的，這就是你自己，你一直在潛意識(shí)中活動(dòng)。除此以外，很難給出其他什么答案，雖然心理學(xué)家們已經(jīng)發(fā)現(xiàn)了另一種答案的開(kāi)始部分，也許有朝一日它會(huì)更令人滿意。

　　*不管潛意識(shí)的理論有沒(méi)有價(jià)值，確定無(wú)疑的是，存在一個(gè)限度，超出了這個(gè)限度我們就不能迫使意識(shí)作出反應(yīng)。

　　*不過(guò)將我們希望稍后回頭再做的題目沒(méi)有取得任何成就的情況下就擱置一邊則是不可取的；再停止工作以前題目至少應(yīng)該已經(jīng)解決了一點(diǎn)，問(wèn)題的某個(gè)方面應(yīng)有所闡明。

　　*只有那些我們熱切地希望解答地題目，或是我們?cè)��?jīng)很緊張地解答過(guò)地題目，回頭再來(lái)做時(shí)才會(huì)有所進(jìn)展；看來(lái)要使?jié)撘庾R(shí)活動(dòng)繼續(xù)，主觀意識(shí)地努力和緊張也是必不可的。

　　24.如果一道題目具有某些方面的對(duì)稱性，我們常常能得益于注意到它可以互換的部分，而且常常值得我們用同樣的方式來(lái)處理那些起相同作用的部分。

　　25.未來(lái)的數(shù)學(xué)家應(yīng)該是一個(gè)聰明的解題者，但僅僅做一個(gè)聰明的解題者是不夠的。在適當(dāng)?shù)臅r(shí)候，它應(yīng)該去解答重大的數(shù)學(xué)問(wèn)題，而且首先他應(yīng)該搞清楚他的天資特別適合于哪些類型的題目。

　　*對(duì)他來(lái)說(shuō)，工作中最重要的那部分就是回去再看一下完整的解答。

　　*和其他所有人一樣，未來(lái)的數(shù)學(xué)家通過(guò)模仿和練習(xí)來(lái)學(xué)習(xí)。他應(yīng)該注意尋找正確的典范來(lái)模仿；他應(yīng)該覺(jué)察到一個(gè)能激勵(lì)人心的教師；他應(yīng)該和一位能干的朋友競(jìng)賽。然后，可能最重要的是，他不僅應(yīng)該閱讀通用的教材，還應(yīng)閱讀優(yōu)秀作者的作品，直到他找到一個(gè)作者，其方式是他天生傾向于模仿的。他應(yīng)該欣賞和尋求在他看來(lái)簡(jiǎn)單的或有啟發(fā)性的或美的東西。他應(yīng)該解題，選擇適合他思路的那些題目，思考它們的解答，并創(chuàng)造新的題目。他應(yīng)該通過(guò)這些方法及所有其他方法來(lái)努力作出他的一個(gè)重大發(fā)現(xiàn)：他應(yīng)該發(fā)現(xiàn)自己的好惡、趣味以及自己的思路。

　　26.聰明的解題者首先要做的是盡可能充分、清楚地理解題目。然而光有理解是不夠的；他必須全神貫注于題目，他必須熱切地期望獲得解答。如果他不能真正喚起解題地欲望，還不如置之不理。獲得真正成功地公開(kāi)秘密就是要全身心地投入到題目中去。

　　27.一個(gè)聰明地?cái)?shù)學(xué)書(shū)讀者有兩種愿望：首先，看到論證地當(dāng)前一步是正確的。其次，看到當(dāng)前一步的目的。

　　28.解題的成功決定于選擇的正確的角度，決定于從容易接近的一側(cè)來(lái)攻克要塞。為了找出哪一個(gè)角度是正確的，哪一側(cè)是容易接近的，我們要嘗試各種側(cè)面和角度，我們要變化題目。

　　29.我們不能指望沒(méi)有極度的專心就能解答什么有價(jià)值的題目。但是如果非常專心地集中注意力于某一點(diǎn)上，我們很容易就會(huì)感到疲勞了。為了保持我們的注意力活躍，注意力指向的對(duì)象必須不斷地變化。

　　30.我們常常必須對(duì)題目作不同的修改。我們必須一次又一次地變化、重述、變換，直到最終成功地找到一些有用的東西。我們可以在失敗中學(xué)習(xí)，在一次不成功的嘗試中也許會(huì)有某個(gè)好的想法，而且我們通過(guò)修改一次不成功的嘗試也許可以得到一個(gè)更為成功的嘗試。

　　31.如果一本教科書(shū)的作者含含糊糊地提出一個(gè)不完全證明，其中可以明顯看出他對(duì)于證明地完全性是該羞愧還是該自負(fù)游移不定，那將是痛苦的。但是當(dāng)不完全證明在適當(dāng)?shù)牡胤降皿w地提出時(shí)，他也會(huì)有用。它們的目的不是要去代替完全證明（這是它們絕對(duì)不可能辦到的），而是要使問(wèn)題的陳述又趣味性和連貫性。

　　*不完全證明可以作為一種助記手段。

　　32.將關(guān)于制定計(jì)劃、尋找方法和選擇行動(dòng)路線的諺語(yǔ)（簡(jiǎn)單說(shuō)，就是關(guān)于解題的諺語(yǔ)）進(jìn)行收集和歸類會(huì)是一項(xiàng)有意思的任務(wù)。

　　*智者從目標(biāo)著手，愚者在起點(diǎn)止步。

　　*釣魚(yú)不在于釣而在于魚(yú)。

　　*多思出上策。

　　*當(dāng)你找到第一個(gè)蘑菇或作出第一個(gè)發(fā)現(xiàn)后，再四處看看；它們總是成群生長(zhǎng)。

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